Ejercicios resueltos del Diagrama de Venn

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La prueba de práctica en los diagramas de Venn ayudará a poner a prueba sus conocimientos sobre los conjuntos y los diagramas de Venn. Después de practicar las hojas de trabajo de los diagramas de Venn, esta prueba de práctica en los diagramas de Venn es ideal para probar a los estudiantes en la teoría de conjuntos y trabajar con los diagramas de Venn.

Ejercicios Generales del Diagrama de Venn

Ejercicio 1.

Del diagrama de Venn adyacente, se encuentran los siguientes conjuntos.

  1. A
  2. B
  3. ξ
  4. A’
  5. B’
  6. C’
  7. C – A
  8. B – C
  9. A – B
  10. A ∪ B
  11. B ∪ C
  12. A ∩ C
  13. B ∩ C
  14. (B ∪ C)’
  15. (A ∩ B)’
  16. (A ∪ B) ∩ C
  17. A ∩ (B ∩ C)

A continuación se dan las respuestas a los ejemplos del diagrama de Venn:

i) A = {1, 3, 4, 5}

ii) B = {4, 5, 6, 2}

iii) ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

iv) A’ = {2, 6, 7, 8, 9, 10} todos los elementos del conjunto universal dejando los elementos del conjunto A.

(v) B’ = {1, 3, 7, 8, 9, 10} todos los elementos del conjunto universal dejando los elementos del conjunto B.

(vi) C’ = Encontrar

C = {1, 5, 6, 7, 10} Por lo tanto, C’ = {2, 3, 4, 8, 9} todos los elementos del conjunto universal dejando los elementos del conjunto C.

vii) C – A

Aquí C = {1, 5, 6, 7, 10}

A = {1, 3, 4, 5}

entonces C – A = {6, 7, 10} excluyendo todos los elementos de A de C.

viii) B – C

Aquí B = {4, 5, 6, 2}

C = {1, 5, 6, 7, 10}

B – C = {4, 2} excluyendo todos los elementos de C de B.

ix) B – A

Aquí B = {4, 5, 2}

A = {1, 3, 4, 5}

B – A = {6, 2} excluyendo todos los elementos de A de C.

(x) A ∪ B

Aquí A = {1, 3, 4, 5}

B = (4, 5, 6, 2}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

xi) B ∪ C

Aquí B = {4, 5, 6, 2}

C = {1, 5, 6, 7, 10}

B ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10}

xii) (B ∪ C)’.

Desde, B ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10}

Por lo tanto, (B ∪ C)’ = {3, 8, 9}

(xiii) (A ∩ B)’.

A = {1, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 2}

(A ∩ B) = {4, 5}

(A ∩ B)’ = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

(xiv) (A ∪ B) ∩ C

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6, 2}

C = {1, 5, 6, 7, 10}

A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(A ∪ B) ∩ C = {1, 5, 6}

xv) A ∩ (B ∩ C)

A = {1, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 2}

C = {1, 5, 6, 7, 10}

B ∩ C = {5, 6}

A ∩ (B ∩ C) = {5}

Ejercicio 2.

De la figura obtén los elementos de los siguientes conjuntos:

(a) ξ

(b) A’

(c) B’

(d) (A ∩ B)’

(e) (A ∪ B)’

(f) A’ ∪ B’

Solución:

(a) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
(b) {d, e, f, g, h, i, j}
(c) {a, b, g, h, i, j}
(d) {a, b, d, e, f, g, h, i, j}
(e) {g, h, i, j}
(f) {a, b, d, e, f, g, h, i, j}

Ejercicio 3.

Que A = {1, 2, 3, 5, 6}, B = {3, 4, 6, 8} sean dos subconjuntos del conjunto universal ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Dibuja los diagramas de Venn para representar los siguientes conjuntos:

a) A’.

b) B’

c) A ∪ B

d) A ∩ B

e) (A ∪ B)’.

f) (A ∩ B)’.

Solución:

A’ = {4, 7, 8}

B’ = {1, 2, 5, 7}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

A ∩ B = {3, 6}

(A ∪ B)’ = {7}

(A ∩ B)’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

Ejercicio 4.

Usa el diagrama de Venn de la imagen para encontrar:

https://www.math-only-math.com/images/xpractice-test-on-Venn-diagrams-a.jpg.pagespeed.ic.w-fDp45CVZ.jpg

https://www.math-only-math.com/images/xpractice-test-on-Venn-diagrams-a.jpg.pagespeed.ic.w-fDp45CVZ.jpg

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Ejercicio 5.

Usa el diagrama de Venn para mostrar (A ∩ B)’ = A’∪B’

para mostrar A ∩ B cuando BCA

para mostrar A ∪ B cuando BCA

Solución:

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

 A ∩ B = B

A ∪ B = A

Ejercicio 6.

¿Qué representan las regiones sombreadas en lo siguiente?

Solución:

(a) B – A
(b) A ∪ B
(c) A – B
(d) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
(e) B – A = ∅
(f) A ∩ B = ∅
(g) A ∩ B
(h) A ∩ B
(i) A ∩ B ∩ C

Ejercicio 7

Utilice la figura para encontrar los siguientes conjuntos:

(a) A ∪ B

(b) B ∩ C

(c) C – A

(d) A – B

(e) (B – C) ∪ A

(f) (C ∩ B) ∪ A

(g) (A ∪ B) ∩ C

(h) (B ∪ C)’

(i) (A ∪ B) – C

(j) (B – A)’

Solución:

(a) {a, b, c, d, j, k}
(b) ∅
(c) {h, i, q}
(d) {a, b, c}
(e) {a, b, c, d, j, k}
(f) {a, b, c, d}
(g) ∅
(h) {a, b, c, p, l, m, n}
(i) {a, b, c, d, j, k}
(j) {a, b, c, d, h, i, p, q, l, m, n}

Problemas a modo de preguntas del diagrama de Venn

Ejercicio 8

Si A y B son dos conjuntos tales que A ∪ B tiene 60 elementos. A tiene 32 elementos y B tiene 40 elementos. ¿Cuántos elementos tiene A ∩ B?

Solución:

12

Ejercicio 9

Si X e Y son dos conjuntos tales que X tiene 30 elementos y X ∪ Y tiene 50 elementos y X ∩ Y tiene 8 elementos, ¿cuántos elementos tiene Y?

Solución:

28

Ejercicio 10

Encuentra n(A ∪ B) si n(A) = 43, n(B) = 51 y n(A ∩ B) = 30.

Solución:

64

Ejercicio 11

En una clase, al 60% de los estudiantes les gustan las matemáticas, mientras que al 50% les gustan las ciencias. ¿A qué porcentaje de estudiantes les gustan tanto las matemáticas como las ciencias?

Solución:

10%

Ejercicio 12

Hay 100 profesores en una escuela. 60 enseñan ciencias, 25 enseñan humanidades, 15 enseñan tanto ciencias como humanidades.

Encuentra el número de profesores que enseñan:

a) ciencias pero no humanidades.

b) Humanidades pero no ciencias.

(c) Humanidades o ciencias.

Solución:

(a) 45
(b) 10
(c) 70

Ejercicio 13

En un grupo, a 25 personas les gusta el té o el café, de estas 15 les gusta el té y 6 les gusta tanto el café como el té. ¿A cuántos les gusta el café?

Solución:

16

Ejercicio 14

En una encuesta realizada a 40 estudiantes de una clase, a 10 les gustaba el jugo de piña, a 15 el de naranja y a 7 les gustaba tanto el jugo de piña como el de naranja. Descubra cuántos estudiantes no tomaban ni zumo de piña ni de naranja.

Solución:

22

Ejercicio 15

En una encuesta, Sam encontró que a 38 personas les gustaba el producto A, a 36 les gustaba el producto B, y a 39 les gustaba el producto C. Si a 24 personas les gustaban ambos productos A y B, a 20 personas les gustaban los productos C y A, a 18 personas les gustaba el producto B y C, y a 9 les gustaban los tres productos. ¿Encontrar cuántos le gustó el producto C solamente?

Solución:

10

Ejercicio 16

En un grupo de 60 estudiantes, 25 juegan al tenis de mesa, 16 a la natación y 22 al críquet, 8 juegan al tenis de mesa y hacen natación, 6 juegan al críquet y hacen natación, 5 juegan al tenis de mesa y al críquet, y 12 estudiantes no juegan a ninguno de estos juegos.

Encuentra:

a) ¿Cuántos juegan al tenis de mesa, nadan y juegan al críquet?

(b) ¿Cuántos juegan tenis de mesa pero no al críquet?

(c) ¿Cuántos juegan tenis de mesa y cricket pero no nadan?

Solución:

(a) 4
(b) 20
(c) 1

Ejemplo resuelto para encontrar la diferencia de conjuntos usando el diagrama de Venn:

Ejercicio 1. Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {3, 5, 7, 9, 11, 13}, entonces encuentra

  1. A – B
  2. B – A.

Solución:

De acuerdo con la declaración dada; A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {3, 5, 7, 9, 11, 13}

i) A – B = {2, 4, 6}

(ii) B – A = {9, 11, 13}

Ejercicio 2. Dados tres conjuntos A, B y C, de tal manera que: A = {x : x es un número natural entre 10 y 16}, B = {los números pares entre 8 y 20} y C = {7, 9, 11, 14, 18, 20}.

Encuentra la diferencia de conjuntos usando el diagrama de Venn:

  1. A – B
  2. B – C
  3. C – A
  4. B – A

Solución:

De acuerdo con la declaración dada

A = {11, 12, 13, 14, 15}

B = {10, 12, 14, 16, 18}

C = {7, 9, 11, 14, 18, 20}

(i) A – B = {Los elementos del conjunto A que no están en el conjunto B}

= {11, 13, 15}

(ii) B – C = {Los elementos del conjunto B que no están en el conjunto C}

= {10, 12, 16}

(iii) C – A = {Los elementos del conjunto C que no están en el conjunto A}

= {7, 9, 18, 20}

(iv) B – A  = {Los elementos del conjunto B que no están en el conjunto A}

= {10, 16, 18}

Ejemplos para encontrar la diferencia simétrica usando el diagrama de Venn:

Ejercicio 1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces A – B = {2, 4}, B – A = {9} y A △ B = {2, 4, 9}.

Por lo tanto, la parte sombreada del diagrama de Venn representa A △ B = {2, 4, 9}.

Ejercicio 2. Si A = {1, 2, 4, 7, 9} y B = {2, 3, 7, 8, 9} entonces A △ B = {1, 3, 4, 8}

Por lo tanto, la parte sombreada del diagrama de Venn representa A △ B = {1, 3, 4, 8}.

Ejercicio 3. Si P = {a, c, f, m, n} y Q = {b, c, m, n, j, k} entonces P △ Q = {a, b, f, j, k}

Por lo tanto, la parte sombreada del diagrama de Venn representa P △ Q = {a, b, f, j, k}.

Ejemplos resueltos de intersección de conjuntos usando el diagrama de Venn:

Ejercicio 1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 9, 12}. Encuentra A ∩ B usando el diagrama de Venn.

Solución:

De acuerdo con la pregunta dada sabemos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 9, 12}

Ahora dibujemos el diagrama de Venn para encontrar la intersección A con la B.

Por lo tanto, del diagrama de Venn obtenemos A ∩ B = {1, 3}

Ejercicio 2. De la figura adyacente encontraremos la intersección A con la B.

Solución:

De acuerdo con la cifra adjunta que obtenemos;

Conjunto A = {m, p, q, r, s, t, u, v}

Conjunto B = {m, n, o, p, q, i, j, k, g}

Por lo tanto, la intersección A con la B es el conjunto de elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B.

Así, A ∩ B = {p, q, m}

Ejemplos resueltos para encontrar la unión de dos conjuntos dados

Ejercicio 1. Si A = {1, 3, 7, 5} y B = {3, 7, 8, 9}. Encuentra la unión de dos conjuntos A y B.

Solución:

A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
Ningún elemento se repite en la unión de dos conjuntos. Los elementos comunes 3, 7 se toman una sola vez.

Ejercicio 2. Que X = {a, e, i, o, u} y Y = {ф}. Encuentra la unión de dos conjuntos dados X e Y.

Solución:

X ∪ Y = {a, e, i, o, u}

Por lo tanto, la unión de cualquier conjunto con un conjunto vacío es el propio conjunto.

Ejercicio 3. Si el conjunto P = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, el conjunto Q = {0, 3, 6, 9, 12} y el conjunto R = {2, 4, 6, 8}.

  1. Encontrar la unión de los conjuntos P y Q
  2. Encontrar la unión de dos conjuntos P y R
  3. Encontrar la unión de los conjuntos dados Q y R

Solución:

i) La unión de los conjuntos P y Q es P ∪ Q

El conjunto más pequeño que contiene todos los elementos del conjunto P y todos los elementos del conjunto Q es {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12}.

ii) La unión de dos conjuntos P y R es P ∪ R

El conjunto más pequeño que contiene todos los elementos del conjunto P y todos los elementos del conjunto R es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

(iii) La unión de los conjuntos dados Q y R es Q ∪ R

El conjunto más pequeño que contiene todos los elementos del conjunto Q y todos los elementos del conjunto R es {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}.

Notas:

A y B son los subconjuntos de A ∪ B

La unión de los conjuntos es conmutativa, es decir, A ∪ B = B ∪ A.

Las operaciones se realizan cuando los conjuntos se expresan en forma de lista.

 

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