¿QUÉ ES EL DIAGRAMA DE VENN?

Descubre en nuestra web todo acerca del diagrama de Venn y sus utilidades

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Los diagramas de Venn son esquemas o diagramas, como su propio nombre lo indica, ampliamente utilizados en la matemática, principalmente en la teoría de conjuntos, que nos ayudan a entender de una mejor forma un problema o la relación existente entre determinada cantidad de conjuntos.

que es diagrama de venn

Al realizar el diagrama de Venn se usan usualmente círculos, aunque se pueden usar otras figuras como cuadrados, rectángulos o hexágonos los cuales se superponen unos a otros para mostrar las relaciones que existen entre ellos de la forma más sencilla posible, no hay un límite establecido de la cantidad de conjuntos que puede tener un diagrama de venn, los hay sencillos de dos, tres o cuatro conjuntos,con muchas o pocas relaciones entre sí. O puedes volverse complejos y muy sofisticados llegando incluso a tener que representarse en tres dimensiones debido a la gran cantidad de conjuntos y a las relaciones entre ellos.

Suelen utilizarse en análisis de empresas, marketing, etc para realizar informes y/o presentaciones, niveles de producción o retención de clientes. Permiten ver los datos de una manera gráfica y más didáctica, resaltando la relación de los elementos del diagrama y sus similitudes y diferencias.

diagrama de venn euler

Los diagramas de Venn son conocidos además como diagramas de conjunto o diagramas lógicos, tienen una gran variedad de aplicaciones en áreas de la estadística, lingüística, lógica,informática, enseñanza y negocios.Se utilizan para realizar un análisis completo y minucioso, expresan la forma en que se relacionan los conjuntos entre ellos en un espacio concreto llamado universo.

Para que sirve el gráfico de Venn

  • Probabilidades y estadísticas: a la hora de predecir acontecimientos o eventos son muy útiles los diagramas de Venn y bastante utilizados por los matemáticos especializados en esta rama. Se comparan conjuntos de diferentes datos a la hora de comprobar las diferencias y similitudes.
  • Linguística: aunque no lo crean se usan también en el estudio de los idiomas y las similitudes entre ellos.diagrama de venn para que se utiliza
  • Matemática: se usa como método didáctico en las escuelas para enseñar a los alumnos conceptos imprescindibles de la matemática que de otra forma sería muy complejo de explicar. En la matemática más avanzada se usa para analizar y resolver problemas complejos, tanto que existe una rama de ésta sólo para estudiar este tipo de relaciones, se denomina teoría de conjuntos.
  • Informática: en este campo se tiende a utilizar para visualizar jerarquías y relaciones de variables en los lenguajes de programación.grafico de venn su utilidad
  • Lógica: se usa para determinar la veracidad de determinadas conclusiones o argumentos. En el razonamiento deductivo si las premisas son verdaderas y la estructura del argumento es correcta, se deduce que la conclusión es veraz. Un diagrama similar al de Venn sobre la lógica es la Tabla de la Verdad. Pone las variables en columnas para descifrar lo que es lógicamente posible. Otro es el diagrama de Randolph, también conocido como Diagrama R, que utiliza líneas para explicar los conjuntos. Este es un tema peliagudo y filosófico, si quieres más información acerca de esto busca en páginas especializadas en el tema.
  • Negocios: se utilizan para comparar y constrastar servicios, productos, procesos o cualquier cosa que se pueda representar con conjuntos, es una herramienta útil mara mostrar comparaciones.

 

Un poco de humor que nunca viene mal.😆

 

Historia

John Venn
John Venn

Este diagrama le debe su nombre a John Venn, el cual era un matemático  británico que escribió por primera vez sobre este tipo de diagramas en la revista  Philosophical Magazine and Journal of Science en el año 1880

Aunque fue el primero en escribir un texto oficial este tipo de diagramas ya era conocido al menos seiscientos años antes de que John Venn lo  enunciara. El lógico y filósofo Ramon Llull utilizó unos diagramas parecidos cerca del año 1200, pero no fue el único que descubrió la utilidad de estos diagramas, también lo hizo el matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibnitz  a finales de 1600.

Qué es Diagrama de Venn Euler

Gottfried Leibniz
Gottfried Leibniz

En el siglo dieciocho el gran matemático Leonhard Paul Euler utilizó un tipo de diagrama muy parecido al cual llamó por su nombre diagrama de Euler. Incluso Venn llamaba a sus diagramas círculos de euler, ya que se había “inspirado” en los estudios y trabajos de su predecesor. Aunque debemos tener en cuenta que ambos matemáticos realizaron importantes aportes a la ciencia.

Los diagrama de Venn guardan relación con los diagramas de Euler aunque se diferencian del anterior citado en que en el caso de no existir elementos en un determinado conjunto dicho conjunto se omite en los diagramas de Euler y en los de Venn, sí que se representan a pesar de que estén vacíos e incluso las relaciones de estos con otros conjuntos vacíos o no.

El desarrollo de los diagramas de Venn continuó en el siglo XX. Por ejemplo, alrededor de 1963, D.W. Henderson reveló la existencia de un gráfico n-Venn que consistía en una simetría racional de n pliegues, que señalaba que n era un número primo. Este concepto fue profundizado por otros cuatro intelectuales en los años siguientes, quienes concluyeron que los diagramas de Venn de simetría rotacional sólo existen si n es un número primo.

Desde entonces, estos diagramas se han convertido en parte del currículum de estudio de hoy en día e ilustran la información comercial. Los diagramas de Venn y Euler se incorporaron como un componente de la instrucción en la teoría de conjuntos del nuevo movimiento matemático en el año 1960.

Hay otros matemáticos que aportaron estudios y modificaciones al diagrama de Venn tales como Branko Grunbaum, John Stephen Smith y A. W. F. Edwards. Entre los principales cambios que se introdujeron se encuentran cambio de las figuras a la hora de representar un conjunto para hacerlas más simples cuando se necesitaran representar muchos conjuntos.

Conceptos básicos

Antes de entrar en materia debemos tener muy claro conceptos y definiciones básicas que te ayudaran a entender mejor el funcionamiento de este diagrama.

  • Conjunto: Una colección de cualquier tipo de elementos que deben tener una característica común que los une. No tienen que ser números necesariamente la definición de los elementos dependerá en gran medida del tipo de problema que pretendes solucionar o representar, pueden ser miembros, objetos o términos similares.
  • Teoría de conjuntos: rama de la matemática que se centra en el estudio de los conjuntos.
  • Notaciones del conjunto: las relaciones y elementos ilustrados en los diagramas de Venn se pueden expresar con notaciones matemáticas en caso de ser requerido. Se suelen utilizar corchetes para representar conjuntos y subconjuntos, la letra U representa uniones de uno o más conjuntos y la misma letra invertida para representar intersecciones, más adelante trataremos este tema con mayor profundidad.

Relaciones entre Conjuntos en los Diagramas de Venn

En los diagramas de Venn se presentan tres tipos de relaciones que que constituyen la base de este diagrama, intersección, inclusión y disyunción, también se pueden expresar otras relaciones matemáticas como veremos a continuación.

Para ejemplificar los tipos de relaciones que ocurren crearemos los conjuntos A y B de ejemplos.

A = {1, 2, 7 , 14 }   A son todos los números divisibles por 14.
B = { 1, 2, 5, 10 }   B son los números divisibles por 10.
U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14 }

Siendo U todos los números naturales menores que 14.

diagrama de venn aub

Diagrama de Venn: Intersección

Definición matemática: Dejemos que A y B sean los dos conjuntos. La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.

Ahora usaremos la notación A ∩ B (que se lee como A intersección B) para denotar la intersección del conjunto A y el conjunto B.

Así, A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.

Claramente, x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A y x ∈ B

Por lo tanto, la parte sombreada en la figura adyacente representa A ∩ B.

diagrama de venn online

 

De una manera más simple, la intersección ocurre cuando los límites de dos regiones cerradas o conjuntos se superponen entre sí como en la figura que mostramos con anterioridad. Esto se debe a que existen elementos comunes entre los conjuntos que producen dicha intersección. Lo cual se denota de la siguiente forma para nuestro ejemplo en concreto:

A∩B = { 1 ; 2 }

Propiedades de la Intersección

Así pues, de la definición de intersección de conjuntos concluimos que A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B. Lo que quiere decir que la intersección es un subconjunto que pertenece tanto a A como a B.

Del anterior diagrama de Venn los siguientes teoremas son obvios:

  1. A ∩ A = A (Teorema de la idoneidad)
  2. A ∩ U = A (Teorema de unión)
  3. Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A.
  4. A ∩ B = B ∩ A (Teorema conmutativo)
  5. A ∩ ϕ = ϕ (Teorema de ϕ)
  6. A ∩ A’ = ϕ (Teorema de ϕ)

Para dos conjuntos disociados A y B, A ∩ B = ϕ, estos conjuntos  no se intersecan.

 

Diagrama de Venn: inclusión

Si un todos los elementos pertenecientes a determinado conjunto pertenecen a otro estamos en presencia de la inclusión, en este caso podemos decir que el primer elemento está incluido en el segundo o que es subconjunto de éste último. Representado visualmente se vería como en la siguiente foto:

diagrama de venn union

Definición de subconjunto:

Si A y B son dos conjuntos, y cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B, entonces A se llama un subconjunto de B y lo escribimos como A ⊆ B o B ⊇ A

El símbolo ⊂ significa “es un subconjunto de” o “está contenido en.

Propiedades
  • Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo, es decir, A ⊂ A, B ⊂ B.
  • El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.
  • El símbolo ‘⊆’ se utiliza para denotar ‘es un subconjunto de’ o ‘está contenido en’.
  • A ⊆ B significa que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B.
  • B ⊆ A significa que B contiene A.

Como se puede observar A es subconjunto de B lo cual se representa de la siguiente manera: A ⊂ B. En el ejemplo anterior ninguno de los conjuntos se encuentre incluido dentro del otro lo cual representamos de la siguiente forma en la teoría de conjuntos:

  • A⊄B : A no es subconjunto de B.
  • B⊄A : Así como tampoco B es Subconjunto de A.

Diagrama de Venn: disyunción

La disyunción es cuando dos elementos no se intersecan entre sí, o sea, no tienen elementos comunes entre ellos como se puede observar en la foto.

diagrama de venn definicion

Para el caso de la foto anterior la intersección entre A y B es el conjunto nulo o vacío que se denota de la siguiente forma:

A∩B = Ø

Existen otras operaciones que se pueden realizar entre conjuntos que expondremos a continuación.

Unión de Dos o más conjuntos

Definición:La unión de dos conjuntos dados es el conjunto más pequeño que contiene todos los elementos de ambos conjuntos.Encontrar la unión de dos conjuntos dados A y B es un conjunto que consiste en todos los elementos de A y todos los elementos de B de tal manera que ningún elemento se repite.El símbolo para denotar la unión de los conjuntos es ‘∪’.

Por lo tanto, simbólicamente, escribimos unión de los dos conjuntos A y B es A ∪ B que significa unión A B.

Por lo tanto: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

diagrama de venn logica

A∪B es la unión de ambos conjuntos A y B incluyendo los elementos de que se repiten o comunes entre ellos, en caso de haberlos, si los hay decimos de los conjuntos de intersecan entre sí, o sea, ocurre una intersección de los conjuntos del diagrama como explicamos anteriormente.

Para el ejemplo que estamos usando quedaría de la siguiente forma: A ∪ B = {1, 2, 5, 7, 10, 14}

Este nuevo conjunto contiene todos los elementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto B sin repetición de elementos y se denomina unión del conjunto A y B.

Algunas propiedades de la operación de unión:

  1. A∪B = B∪A (Derecho conmutativo)
  2. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (Derecho asociativo)
  3.  A ∪ ϕ = A (Ley del elemento de identidad, es la identidad de ∪)
  4. A∪A = A (Ley Idem)
  5. U∪A = U (Ley de ∪) ∪ es el conjunto universal.

Nota: A ∪ ϕ = ϕ ∪ A = A es decir, la unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío es siempre el conjunto mismo.

Complemento absoluto

Definición: es el complemento de un conjunto que utiliza el diagrama de Venn es un subconjunto de U. Dejemos que U sea el conjunto universal y que A sea un conjunto tal que A ⊂ U. Entonces, el complemento de A con respecto a U se denota por A’ o AC o U – A o ~ A y se define el conjunto de todos aquellos elementos de U que no están en A.

Así, A’ = {x ∈ U : x ∉ A}.

Claramente, x ∈ A’ ⇒ x ∉ A

diagrama de venn interseccion

Complemento relativo

(A – B) también se denomina el complemento de B en relación con A o complemento relativo. De la definición se desprende claramente que el complemento de todo el conjunto en un conjunto es el conjunto nulo; para U’ = U – U = ∅ de nuevo ∅’ = U – ∅ = U también (A’)’ = U – A’ = U – (U – A) = A.

De manera coloquial, es todo aquello que no pertenece a determinado conjunto incluyendo a el universo U, que son valores que no pertenecen a ningún conjunto numérico definido con anterioridad, como se muestra a continuación.

teoria de conjuntos y diagrama de venn

Como dijimos son todos aquellos valores o “cosas” que  no pertenecen al conjunto al que no referimos, independiantemente si estos pertenecen a otro conjunto o no.

Ac = { 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13} Este sería en complemento del conjunto A para este ejemplo.

Propiedades de complemento de un conjunto:

  1. U’ = ∅
  2. ∅’ = U
  3. A U A’ = U Para cualquier subconjunto A
  4. A ∩ A’ = ∅ Para cualquier subconjunto A
  5. (A’)’ = A Para cualquier subconjunto A.

Diagrama de Venn diferencia

Definición: El complemento relativo o la diferencia de conjunto entre dos conjuntos cualesquiera que sean(en este caso A y B), denotado A – B, es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B. La diferencia de dos subconjuntos A y B es denotado por A – B y se define por:

A – B = {x : x ∈ A y x ∉ B}.

Lo que quiere decir esta definición es lo que hablamos con anterioridad, que la diferencia de A y B, escrita como A – B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Por tanto: A – B = {x : x ∈ A y x ∉ B} ó A – B = {x ∈ A : x ∉ B}.

En español, para que todos entendamos, si denotamos como X la diferencia entre A y B, entonces podemos afirmar que X pertenece a A y no pertenece a B, esto se puede ver más claro en las siguientes imágenes.

Del mismo modo, la diferencia B – A es el conjunto de todos aquellos elementos de B que no pertenecen a A.

Por tanto: B – A = {x : x ∈ A y x ∉ B} ó A – B = {x ∈ B : x ∉ A}.

En particular, A – B = ∅ si A ⊂ B y A – B = A si A ∩ B = ∅.

El subconjunto de A – B también se llama el complemento de B en relación con A.

La diferencia A – B puede ser expresada en términos del complemento como A – b = A ∩ B’.

Diferencia simétrica entre dos conjuntos

La diferencia simétrica usando el diagrama de Venn de dos subconjuntos A y B es un subconjunto de U, denotado por A △ B y está definido por: A △ B = (A – B) ∪ (B – A)

Dejemos que A y B sean dos conjuntos. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto (A – B) ∪ (B – A) y está denotada por A △ B.

Así, A △ B = (A – B) ∪ (B – A) = {x : x ∉ A ∩ B}

o, A △ B = {x : [x ∈ A y x ∉ B] o [x ∈ B y x ∉ A]}

Las partes coloreadas del diagrama de Venn dado representa A △ B.

diagrama de venn diferencia simetrica

En este caso lo que expresa dicha definición es que  se excluyen los elementos que se repiten en ambos conjuntos.Siguiendo con el ejemplo de la foto anterior se denota de la siguiente forma:

diagrama de venn numeros

A ∆ B = { 5 ; 7 ; 10 ; 14 }

Como se pude observar se excluyen el 1 y 2 que son comunes para ambos conjuntos.

A △ B también se puede expresar como (A ∪ B) – (B ∩ A).

Propiedades de la diferencia simétrica:

  1. A △ B = B △ A; [Propiedad conmutativa]
  2. A △ (B △ C) = (A △ B) △ C [Bienes asociativos]

Ejemplos de Diagramas de Venn

Ejemplos de complemento absoluto

  1. El conjunto de números naturales N = {1, 2, 3, ……….} sea el conjunto universal y que A = {2, 4, 6, 8, ……..}. Entonces A’ = {1, 3, 5, ………}
  2. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 3, 5, 7, 9} entonces A’ = {2, 4, 6, 8}
  3. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {2, 3, 4} entonces U – A = ~ A = A’ = {1, 5, 6}
  4. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ser el conjunto universal y A = {1, 3, 5} luego A’ = {2, 4, 6}

Diagrama de Venn de los números reales

Un ejemplo muy visto, utilizado y aprendido por todos nosotros en la escuela es cuando tocaba representar los conjuntos de los diferentes tipos de números en circunferencias o círculos, los cuales pueden estar unidos unos con otros, englobar unos a otros o por el contrario no tener ningún tipo de relación. El espacio o universo es representado con un rectángulo y usualmente con la letra U y es donde habitan o existen todos estos conjuntos.

Para lograr una mejor compresión del Diagrama de Venn vamos a tomar como ejemplo el conjunto numérico, y explicar con este las principales propiedades que rigen el gráfico de Venn.

Empezaremos con el conjunto de los números naturales N=1,2,3,…,N

diagrama de venn de los numeros reales

Los número naturales están dentro de los números enteros Z que son los números naturales y sus opuestos …,-2,-1,0,1,2…

diagrama de venn que es y para que sirve

Los números enteros están a su vez dentro de otro conjunto, el de los números racionales Q que son las fracciones,los números con coma finitos y los infinitos periódicos.

diagrama de venn euler que es

Ahora aparece el conjuntos de los números irracionales Q’ que es disjunto de los números racionales, lo cual quiere decir que son conjuntos que no guardan ninguna relación entre sí.

diagrama de venn que representa el conjunto de los numeros reales

Diagrama de venn que representa el conjunto de los números reales

Los números racionales e irracionales están dentro del conjunto de los números reales, denotado con la letra R. Si el conjunto de números reales es el conjunto universal, entonces el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales son complementos el uno del otro.

ejemplo diagrama de venn de los numero reales

Un conjunto disjunto a los números reales es el conjunto de los números imaginarios denotados con la letra I, este conjunto lo componen los la raíz cuadrada de los números negativos.

ejemplo diagrama de venn de los numero reales

Y finalmente tenemos el conjunto de los números complejos C que son la unión de los números reales y los imaginarios.

ejemplo grafico de venn de los numero reales

El conjunto de los números naturales está incluido en el de los reales lo cual se denota así :

N ⊂ R N es un subconjunto de R

I⊄Q el conjunto de los números imaginarios no está incluido en el conjunto de los números racionales o  no es un subconjunto de los números racionales.

Beneficios y propósitos de usar este tipo de Diagrama

  • Comparación de conjuntos de datos: en la actualidad saber analizar un gran volumen de información es vital para el desarrollo de las empresas permitiendo encontrar correlaciones entre los conjuntos, muy utilizado en las estadísticas y las probabilidades.
  • Resolución de problemas matemáticos: es evidente su utilidad a la hora de solucionar problemas matemáticos, sobre todo porque el creador de este diagrama fue un matemático.
  • Comparación entre diferentes opciones: puede que tengas duda a la hora de elegir determinado servicio, producto o metodología, para estos casos este diagrama es muy útil comparando lo que tienen en común y lo que diferencia a cada opción.
  • Puedes organizar los datos de forma visual: al realizar este diagrama puedes ver de forma más clara la relación entre los conjuntos existentes, analizar sus diferencias y semejanzas.

Pautas a seguir para hacer un diagrama de Venn

  1. Debes tener en claro tu objetivo en concreto. Definir correctamente los conjuntos a utilizar en el diagrama y las relaciones entre ellos.
  2. Tómate tu todo el tiempo que necesites para ordenar tus ideas y escoger de manera correcta la cantidad de conjuntos ya sea en papel o utilizando un determinado software.
  3. Una vez hecho el diagrama puedes comparar los conjuntos que en él existen y sus relaciones, cuáles se intersecan y por qué.

 

 

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